Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 класса

Предположим, что диагонали AC и BD пересекаются с отрезком T1T2 соответственно в точках P1 и P2. Поставленный в задаче вопрос можно переформулировать так:

Первая эквивалентная вспомогательная задача. Верно ли, что |T1P1|+|T2P2|=|T1T2|?

	A			D

Для ответа на этот вопрос можно предварительно попытаться выразить три указанные отрезка, скажем, через основания трапеции. Т.о. приходим к следующей переформулировке задачи:

Вторая эквивалентная вспомогательная задача. В равнобедренной трапеции ABCD, описанной около окружности, основания AD и BC имеют длины 2a и 2b соответственно; T1 и T2 –точки касания боковых сторон AB и CD с окружностью, P1 и P2 — точки пересечения отрезка T1T2 соответственно с диагоналями AC и BD. Вычислить разность (|T1P1|+|T2P2|)-|T1T2|.

				S
	A						D
				2a

Эту задачу нетрудно решить, если заметить, что |AT1|=a, |T1B|=b, |T2P2|=|T1P1|, ΔASD~ΔT1ST2 (S — точка пересечения AB и DC). Указанная разность равна нулю, т.е. точка P1 совпадает с P2.

Таким образом, используя эвристические соображения, мы неоднократно переформулировали исходную задачу и сводили ее решение к задачам стандартного (алгоритмического) вида.

Учащиеся на уроках часто пользуются простейшими приемами перехода к равносильной задаче; например, переводят данную задачу «на язык алгебры», вместо доказательства сформулированного в задаче утверждения переходят к доказательству предложения, противоположного сформулированному.

Очень полезным вариантом переформулировки является переход к наглядной модели (геометрическая формулировка, график чертеж, и т.п.).

Из рассмотренных примеров видно, что редукцию целесообразно применять при решении задачи на построение, которая сводится к построению точки, как пересечения геометрических мест, или условие задачи чрезмерно, содержит лишние чести, являющиеся следствием остальных, или решение данной задачи представляется «методом от противного» (отказ от какой-то данной и сформулированной определенности и создание некоторого ряда тождественных формулировок).

Индуктивный метод. Индукция — один из самых важных эвристических приемов. В переводе с латыни «индукция» означает «наведение»; рассмотрение частных случаев наводит на решение задачи в общем случае. Если задача трудна, то полезно попытаться выделить какой-либо очень простой ее частный случай, с которым учащиеся в состоянии справиться. После этого переходим к другим, более сложным, частным случаям, до тех пор пока не доберемся до решения исходной задачи. Особенно полезно в качестве частных случаев брать различные «крайние» случаи.

7 класс.

Пример. Исходная задача. Верно ли, что периметр любого треугольника больше радиуса описанной около него окружности?

Возьмем какой-либо ΔABC, опишем около него окружность, пусть R — ее радиус.

Теперь будем перемещать вершины B и C по окружности так, чтобы ΔABC стянулся к точке A.