Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 класса

Пример. В равнобедренную трапецию вписан круг. Доказать, что отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины окружности к периметру трапеции.

Замечание. Первый шаг к обобщению данной задачи может быть отказ от условия равнобедренности трапеции. Далее может быть доказана общая теорема о любом описанном многоугольнике.

Обобщением часто пользуются в школе, решая математические задачи сначала «в буквах», «в общем виде». Заменяя задачу ее обобщением, мы включаем ее в класс однотипных задач. После этого мы для поиска решения можем воспользоваться индукцией и другими средствами.

Метод суперпозиции и специализации.

7 класс.

Пример. Доказать теорему: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 прямые. Тогда прямые a и b перпендикулярны прямой AB, а значит параллельны.

Теперь опираясь на рассмотренный случай докажем теорему для общего случая, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины отрезка AB проведем перпендикуляр OH к прямой a. На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1.

Из равенства ΔAOH и ΔBOH1 следует то, что точки H, O, H1 лежат на одной прямой и отрезок HH1 перпендикулярен прямым a и b, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Пример. При изучении темы «Треугольники» возможна следующая специализация: рассмотрение свойств равностороннего треугольника, наиболее элементарного, затем исследование треугольников более общего вида: равнобедренного, прямоугольного и, наконец, треугольника общего вида. Изменение вида треугольника и его свойств представляется существенным в понимании свойств треугольника как геометрической фигуры.

8 класс.

Пример. Исходная задача. Доказать теорему о том, что центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

		B

Доказательство начнем с благоприятного частного случая (специализируемся), когда одна из сторон вписанного угла совпадает с диаметром.

В этом случае очевидно, что AOB=2 ACB, и утверждение справедливо для этого частного случая.

Доказательство можно провести так: COB=180˚-2 OCB, т.к. ΔOCB равнобедренный и OCB= OBC. AOB= COB=180˚, или AOB=180˚-2 OCB=180˚, где вместо COB подставили его значение, найденное из ΔOCB. После преобразования получаем, что AOB=2 OCB. Если же такой случай не имеет места, то общий случай можно свести к двум частным случаям, проведя диаметр.

Центральный AOB и вписанный ACB, о которых идет речь, могут быть представлены в виде суммы или разности углов, что и доказывает рассматриваемую теорему во всей общности.

Теорема доказана.

Пример. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых, a, отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, b, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Замечание. Сначала рассмотрим случай, когда данные прямые параллельны, затем общий случай — когда данные прямые не параллельны. Тогда через одну из точек деления на прямой a проведем прямую, параллельную b и сведем общий случай к рассмотренному частному.

9 класс.

Пример. Доказать, что для всякого треугольника r+R≤H, где

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

H — наибольшая высота.

Применяя специализацию рассмотрим эту задачу для равностороннего треугольника.