Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 класса

Для этого случая r=H, R=H и данное утверждение верно.

Далее рассмотрим более общий вид — равнобедренный треугольник с углом при вершине меньше и больше 60°.

В первом случае утверждение задачи справедливо, но во втором случае справедливость данного утверждения не подтверждается, а это доказывает, что исходное утверждение ложно.

Примеры показывают, что прибегая к специализации и суперпозиции, мы стараемся выделить наиболее доступную нам часть задачи. Часто специализация применяется для опровержения некоторого утверждения, т.е. специализируясь, мы находим такой элемент множества, который не соответствует общему правилу.

Метод симметрии. Рассмотрим примеры задач, в которых симметрия упрощает решение.

7 класс.

Пример. Дана прямая a и две точки C и D, лежащие в одной полуплоскости относительно a. Найти на прямой a такую точку X, чтобы сумма CX и XD была наименьшей.

			X
	a

Поиск точки X и обоснование того, что она удовлетворяет всем требованиям задачи, возможно провести на основе вспомогательной точки D′, симметричной точке D.

		С

Используя введенную точку, можно найти кратчайшее расстояние по прямой между точками C и D′.

		D′

Используя симметрию D и D′, можно утверждать, что точка X искомая, так как CD′=CX+XD.

		D′

Пример. Построить треугольник, если задан угол при одной из его вершин, высота, проведенная из этой вершины, и периметр.

Замечание. Обозначим через α данный угол, через h — данную высоту, проведенную из вершины A, угол при которой равен α, и через p — данный периметр. При попытке изобразить на чертеже отрезок p=a+b+c, где a — сторона, противолежащая углу α, приходим к выводу, что стороны b и c симметричны. На продолжении стороны a мы откладываем отрезки CE=b в одну сторону, BD=c — в другую, т.о. ED=b+a+c=p. Исследуя соотношения, связывающие ΔEAD и угол α, находим DAE=½α+90°. Строим ΔEAD по углу EAD, противолежащей стороне p, и высоте, проведенной из этого угла. А затем, используя полученные результаты строим искомый ΔABC.

8 класс.

Пример. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.