Степенная функция с целым показателем

п.2. Степенная функция с отрицательным целым показателем

Степенной функцией с целым отрицательным показателем называют функцию, где (2)

Функция определена при .

Для выражение не определяют, так что областью определения функции (2) является совокупность двух интервалов и [9].

а) Пусть - нечётное,.

Функция непрерывна на всей числовой прямой, исключая точку0.

Как и в случае натурального показателя нечётна.

Так как при положительных и из неравенства следует неравенство , то на интервале функция (2) монотонно убывает. Отсюда в свою очередь следует, что в интервале функция монотонно убывает, то есть функция строго убывает на области определения, при этом , , и [4].

б) Пусть - четное, .

Тогда функция непрерывна на всей области определения, исключая точку 0.

Функция чётна, то есть она неотрицательна для всех из области определения.

При положительных и из неравенства следует, что на интервале функция монотонно убывает. А в интервале функция монотонно возрастает, так как при следует неравенство .

При этом, , , и [2].