Степенная функция с целым показателем

п.1 С натуральным показателем

Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию

, где . (1)

Определение этой функции общеизвестно для и для .

Из самого её определения следует, что при любом натуральном k

и .

Функция определена на всей числовой оси [9].

а) Пусть - нечётно, то есть , тогда функция - нечётная.

Если , то , а потому график функции проходит через начало координат (рис.1) [4].

Исследуем функцию на монотонность.

Вначале проведём это исследование на полусегменте [9].

Пусть имеем:

.

Так как , то , а так как и , то и , следовательно, , то есть функция (1) монотонно возрастает на полусегменте [4].

Поскольку функция нечётная, то на полусегменте монотонно возрастает, так как если , то .

Функция непрерывна на всей числовой оси, как - непрерывных функций .

По теореме о бесконечно больших функций функциях получаем, что и [2].

б) Пусть - чётно, то есть .

Тогда функция - чётная функция. Очевидно также, что при чётном не принимает отрицательных значений.

Если , то , следовательно, график функции проходит через начало координат (рис.2.).

Эта функция строго возрастает при , так как при имеем: .

А на полуоси функция строго убывает, так как если , то .

Функция непрерывна на всей числовой прямой, как произведение - функций , непрерывность которых уже доказана [4].

По теоремам о бесконечно больших функциях получаем, что и .