Функция корня

п.1 Функция арифметического корня

По доказанному выше функция

(3)

монотонна на и, следовательно, имеет обратную функцию [4].

Так как функция на полусегменте принимает, очевидно, лишь неотрицательные значения, то отсюда следует, что и у функции, обратной к (3), и область определения, и множество значений есть полусегмент .

Эту обратную функцию обозначают и называют арифметическим корнем - ой степени из .

Из определения обратной функции следует, что , то есть, что , и, значит, есть число, - ая степень которого равна подкоренному числу , а для любого [9].

График функции , получается из графика функции , отражением относительно прямой (рис.5).

Этот график, как и график функции y, проходит через начало координат. Кроме того, поскольку , то и [2].

Заметим, далее, что так как функция (1) монотонно возрастает на , то и обратная ей функция монотонно возрастает в своей области определения, то есть также на .

Выясним теперь, можно ли построить функцию, обратную функции и в области отрицательных значений .

Если - четное число, то функция принимает одни лишь неотрицательные значения и вопрос о построении такой функции отпадает, так что, если при четном записью представлена функция, обратная к (1), то в этой записи, по необходимости, [9].

Для любых натуральных значений и при верно равенство

. (4)

В самом деле, в силу свойств степеней с натуральным показателем .

При справедливо равенство

. (5)

Чтобы доказать это равенство, достаточно заметить что - е степени обеих частей равны , причем обе части равенства (5) неотрицательны.

Если , а - четное число, обе части равенства (5) определены, но равенство уже может не иметь места. Дело в том, что при нечетном и четном в области имеем , но . Поэтому вместо равенства (5) следует писать в этом случае