Степенная функция с комплексным показателем

Рассмотрим функцию:

(9)

где есть натуральное число, большее единицы. Функция, обратная этой, есть

(10)

Функция имеет производную, отличную от нуля во всякой конечной точке плоскости, кроме начала координат. Следовательно, во всякой такой точке сохраняются углы при отображении с помощью функции .

Посмотрим, как ведёт себя наша функция в окрестности нулевой точки. Для этого введём полярные координаты: , после чего равенство (9) даст:

. (11)

Из второго равенства (11) видно, что углы в нулевой точке не сохраняются, а увеличиваются в раз. Конформизм углов нарушается и в бесконечно удалённой точке плоскости , потому, что функция в окрестности совпадает с данной функцией. Точки 0 и будут точками разветвления функции .

Особенность точек 0 и , а также название их точками разветвления будут ещё более ясным, если мы заметим, что каждой точке плоскости , кроме этих двух, соответствует различных точек плоскости . Из соотношений (11) видно, что окружности с центром в нулевой точке плоскости переменного переходят на плоскости тоже в окружности ; полупрямым, выходящим из нулевой точки , будут соответствовать тоже полупрямые .

Возьмём на плоскости переменного угол, величиной , образуемый положительной действительной осью и полупрямой, выходящей из нулевой точки рис.10. этот угол с помощью функции (9) отобразиться на всю плоскость переменного , разрезанную на положительной полуоси рис.11. Действительно, при угол ; при угол .

Рассмотрим теперь некоторые простейшие отображения, связанные с функцией . Совершенно ясно, что эта функция даёт возможность отобразить угол величины рис.12., на верхнюю полуплоскость рис.13.

Зададимся задачей отобразить полукруг с центром в нулевой точке радиуса единицы на верхнюю полуплоскость. Сначала отобразим отрезок от - 1 до +1 в положительную действительную полуось так, чтобы точке - 1 соответствовала точка 0, а точке +1 - точка . В качестве отображающей функции можно взять:

. (12)

Легко видеть, что, действительно, такая функция удовлетворяет требуемым условиям, так как при изменении от - 1 до +1 функция пробегает, возрастая, все значения от 0 до