Пусть - произвольное вещественное число. Определим общую степенную функцию
Из определения степенной функции следует, что при она представляет собой возрастающую, а при
убывающую функцию.
Рассмотрим предельное значение степенной функции при . Докажем, что
Действительно, пусть - любая сходящаяся к нулю справа последовательность значений аргумента
. Так как
, то из свойств показательной функции вытекает, что
при
и
при
. Естественно положить теперь
при
и считать это выражение неопределенным при
.
Докажем непрерывность степенной функции в любой точке положительной бесконечной полупрямой
. Для этого достаточно установить, что эта функция непрерывна в каждой точке
указанной полупрямой слева и справа. Докажем, например, непрерывность этой функции в точке
слева (непрерывность справа доказывается аналогично). При этом ради определённости будем считать
. Обратимся к формуле
. Пусть
- любая сходящаяся слева к
последовательность значений аргумента степенной функции, так что
. Так как логарифмическая функция непрерывна, то последовательность
где
, сходится к
, причем, все элементы
отличны от
(в самом деле, поскольку при
логарифмическая функция возрастает, то справедливо неравенство
). В силу непрерывности показательной функции последовательность
сходится к
. Иными словами, последовательность
, представляющая собой последовательность
значений степенной функции, соответствующую последовательности
, сходится к
, то есть, к
. Непрерывность степенной функции в точке
слева доказана. Аналогично доказывается непрерывность этой функции в точке
справа. Но непрерывность функции в точке
слева и справа означает, что функция непрерывна в этой точке. Отметим, что если
, то степенная функция
непрерывна также и в точке
.
Отметим, что если показатель степенной функции представляет собой рациональное число
, где
- нечетное целое число, то степенную функцию
можно определить на всей числовой оси, полагая для
, если
и
, четное,
Разработка урока с использованием мультимедийных презентаций направленный
на развитие познавательной активности
Использование мультимедийных презентаций на уроке многократно повышает мотивацию детей, особенно авторов материалов. В данном случае ученик выполняет роль учителя, комментируя не только содержание собственной презентации, но и объясняя, аргументируя использование тех или иных возможностей PowerPoint [5]. На этапе разработки урока с испол ...
Дошкольное образование
Дошкольное образование в США не является обязательным. Родители, по своему усмотрению, могут отдать детей в различные учреждения: детский сад, ясли, центры дошкольных программ, дневные центры по присмотру за детьми. В центрах дошкольных программ с 3-5 до 6-летнего возраста, дети получат дошкольное образование. В зависимости от Штата, по ...