Разложение степенной функции в биноминальный ряд

Последовательно находим:

При имеем:

.

Таким образом,

,

где остаточный член может быть определён по интегральной формуле

.

Приняв во внимание, что в нашем случае , можем написать:

.

Применив к интегралу теорему о среднем и, обозначив, через , где , значение лежащее между 0 и , и удовлетворяющее теореме о среднем, получим:

(21)

Так как по признаку Д’Аламбера , а следовательно, ряд сходится абсолютно при и расходится при , остаётся показать, что остаточный член при стремится к нулю.

Множитель в формуле (21), есть произведение трёх величин, из которых две ограничены, а третья - стремится к нулю, при . Поэтому, .

Таким образом, разложение

(22)

имеет при всех значениях , удовлетворяющих условию .

Если - целое положительное число, то ряд заканчивается на члене и превращается в известную формулу бинома Ньютона. В общем случае, разложение (22) даёт обобщение бинома Ньютона для любого действительного показателя . В этом общем случае разложение (22) называется биноминальным рядом.

Частные случаи биноминального ряда:

[4].