Теоретические подходы к феномену "математическое мышление"

В процессе обучения математике у человека складываются специфические когнитивные структуры, являющиеся отражением объективно существующих математических структур. Различают два типа когнитивных структур, формирующихся по "горизонтальному" и "вертикальному" принципу (В.А. Тестов, М.А. Холодная). К первому относятся алгебраические, порядковые и топологические когнитивные структуры, выступающие как прототипы, упрощенные модели математических объектов, прежде всего как комплекс, средства хранения математических знаний. Ко второму — логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические когнитивные схемы, причем они выступают, в первую очередь, как средства, методы математического познания.

В процессе обучения структуры претерпевают изменения. В зависимости от характера последних Д. Норманом были выделены три различные формы научения [12]:

1) наращивание структур — добавление нового знания к уже существующим схемам памяти;

2) создание структур — образование новых понятийных структур, новое осмысление, качественное обновление системы знаний;

3) настройка структур — топкое приспособление знания к задаче.

К этим формам В.А. Тестов добавляет еще одну, фактически рассмотренную Л.Б. Ительсоном:

4) перестройка структур. Эта форма научения состоит из преобразований структур трех типов:

а) переход на более высокую ступень организации, когда сформированная ранее структура становится подструктурой новой, более широкой (например, структура натуральных чисел становится подструктурой рациональных чисел);

б) изменение принципа организации структуры, когда координация (сочета­ние) частей внутри нее заменяется их субординацией (подчинением) или обратно (например, целые числа и дроби — лишь с определенного момента в обучении целое число становится частным случаем дроби);

в) перецентровка структуры, т.е. выдвижение в качестве существенных тех элементов, которые были второстепенными, и обратно (например, при переходе от изучения равных треугольников к изучению подобных длины соответствующих сторон становятся второстепенными, а величины соответствующих углов — главными признаками).

Несколько иная точка зрения о структуре мышления приводится в исследованиях И.Я. Каплуновича. Согласно его модели, структура математического мышления представляет собой пересечение пяти основных подструктур: топологической, порядковой, метрической, композиционной (алгебраической) и проективной [13].

Топологическая подструктура обеспечивает замкнутость, компактность, связанность осуществляемых мышлением преобразований, непрерывность трансформаций, мысленное выращивание, выделение в представлении требуемого объекта (его образа). Порядковая дает возможность постоянного сопоставления человеком математических объектов и их элементов по таким характеристикам, как больше—меньше, ближе—дальше, часть-целое, изменение направления движения и его характера, положение, форма, конструкция предмета. Метрическая позволяет вычленять в объектах и их компонентах количественные величины и отношения (пропорции, численные значения размеров, углов, расстояний). С помощью алгебраической подструктуры человек осуществляет не только прямые и обратные операции над математическими объектами, расчленение и соединение их составляющих, по и замену нескольких операций — одной из определенной совокупности, объединение нескольких блоков предмета в один, выполнение математических преобразований в любой последовательности. Наконец, проективная подструктура обеспечивает изучение математического объекта или его изображения с определенного самостоятельно выбранного положения, проецирование с этой позиции объекта па изображение (или изображения на объект) и установление соответствия между ними.